Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x \sqrt{1} + x) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x \sqrt{1} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite di $x - (x \sqrt{1} + x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.2.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Passaggio 2.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta il termine $\sqrt{1}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 2.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.5.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.5.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.3

Somma $x$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

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Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.6.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.6.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.8.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Passaggio 2.3.9

Somma $x$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Passaggio 2.3.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Passaggio 2.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Passaggio 2.3.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Passaggio 2.3.13

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Passaggio 2.3.14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Passaggio 3

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra ma a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$