Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $27$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $27$ da $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{2 x + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{2 x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x (3 x)}{2 x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x (3 x)}{x \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 3} \frac{x (3 x)}{x \cdot 2}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x}{2}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{3}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to 3} x$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot 3$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{3}{2}$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9}{2}$

Forma decimale:

$4.5$