Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Passaggio 1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Passaggio 1.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.5$ . Di conseguenza, il limite di $x \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0.5$ .

$0.5$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.5$ . Di conseguenza, il limite di $x \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Frazioni separate.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Passaggio 9.2

Converti da $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ a $\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Passaggio 9.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $0.5$ .

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Passaggio 9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Passaggio 9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Passaggio 9.5

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$