Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sposta il termine $\frac{π}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = - \frac{π x}{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- \frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

$\cos (- \frac{π x}{2})$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.7.1

Poiché $\cos (- \frac{π x}{2})$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- \frac{π x}{2})$ come $\cos (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7.2

Riordina i fattori in $\cos (\frac{π x}{2}) π$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $\frac{π}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $\frac{π}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $0$ .

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{π}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{π}{4}$

Forma decimale:

$- 0.78539816 \dots$