Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 1

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 2

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 2.1

Calcola il limite di

$1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ inserendo

$0$ per

$x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Passaggio 2.2

Riscrivi

$\cot (0)$ in termini di seno e coseno.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di

$\sin (0)$ è

$0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Passaggio 2.4

Poiché

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 4

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Passaggio 4.2

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi

${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ come

$e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Passaggio 4.2.2

Espandi

$\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ spostando

$\cot (x)$ fuori dal logaritmo.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Passaggio 4.3

Poiché l'esponente

$\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ tende a

$- \infty$ , la quantità

$e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ tende a

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.4

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 5

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$