Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{4 x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$4 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$4 \frac{0}{5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

Passaggio 2.1.3.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}}$

Passaggio 2.1.3.1.5

Calcola il limite di $25$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{0 + 25}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.3.1.1

Somma $0$ e $25$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Passaggio 2.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$4 \frac{0}{5 - 5}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$4 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - \sqrt{x + 25}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 25}$ come ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 2.3.5.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 2.3.5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 25$ .

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Passaggio 2.3.5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 25$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Passaggio 2.3.5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 25$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Passaggio 2.3.5.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}$

Passaggio 2.3.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25])}$

Passaggio 2.3.5.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.5.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.5.12

Somma $1$ e $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.13

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.5.14

Moltiplica $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 2.3.5.15

Sposta ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 2.3.6

Sottrai $\frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + 25}$ .

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 25}$

Passaggio 2.6

Combina i fattori.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 2 \sqrt{x + 25}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{x + 25}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \cdot - 2 lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}$

Passaggio 3.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $25$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{0 + 25}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 8 \sqrt{0 + 25}$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $25$ .

$- 8 \sqrt{25}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- 8 \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 8 \cdot 5$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 8$ per $5$ .

$- 40$