Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 2.1.3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$2 \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ come ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ .

$2 {(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\sec (0)$ in termini di seno e coseno.

$2 {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$2 {(1 \cos (0))}^{2}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$2 \cos^{2} (0)$

Passaggio 5.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1^{2}$

Passaggio 5.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$