Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + 3 \cdot (\cos (x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)$

Passaggio 2.7

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Passaggio 2.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Passaggio 2.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Passaggio 2.10

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 \cdot 0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 3 \cdot \cos (0)$

Passaggio 4.1.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Passaggio 4.1.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $3$ .

$3$