Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${\tan (2 x)}^{x}$ come $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Passaggio 3

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Passaggio 3.4

Poiché $e^{0 \ln (0)}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Passaggio 5

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $x \ln (\tan (2 x))$ come $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 5.3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 5.3.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (\tan (2 x))$ diminuisce senza limite.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 5.3.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a infinito.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 5.3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Passaggio 5.3.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 5.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $\tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Moltiplica $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.7.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.8

$\sec^{2} (2 x)$ e $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.10

$2$ e $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.12

Moltiplica $\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13

Semplifica.

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Passaggio 5.3.3.13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.13.1.1

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.4

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.5

Elimina il fattore comune di $\cos (2 x)$ .

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Passaggio 5.3.3.13.1.5.1

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.13.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ come un prodotto.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.13.2.2

Moltiplica $\frac{2}{\cos (2 x)}$ per $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 5.3.3.14

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 5.3.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 5.3.3.16

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 5.3.5

$\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.4.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 5.5.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.5.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.7.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.5.1.3.7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.5.1.3.7.3

Moltiplica $\sin (2 \cdot 0)$ per $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.5.1.3.7.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

Passaggio 5.5.1.3.7.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Passaggio 5.5.1.3.7.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Passaggio 5.5.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Passaggio 5.5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Passaggio 5.5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

Passaggio 5.5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.4.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.5

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.6

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.12

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Passaggio 5.5.3.13

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.13.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.13.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.14

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.15

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.17

Somma $1$ e $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Passaggio 5.5.3.18

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.19

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 5.5.3.20

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Passaggio 5.5.3.21

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.5.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sin^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.5.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Passaggio 5.5.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Passaggio 5.5.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6.3

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 5.6.6

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

Passaggio 5.6.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Passaggio 5.6.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 5.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Passaggio 5.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.8.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.8.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Passaggio 5.8.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Passaggio 5.8.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Passaggio 5.8.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

Passaggio 5.8.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

Passaggio 5.8.1.8

Somma $1$ e $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

Passaggio 5.8.2

Dividi $0$ per $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 5.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 6

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$