Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

Passaggio 1.2

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Passaggio 2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Passaggio 3.4

Dividi $\sec^{2} (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Passaggio 4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\sec^{2} (0)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$1^{2}$

Passaggio 6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1$