Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot 3^{0}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{3^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [3^{x}] + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3^{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

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Passaggio 1.3.6.1

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} x \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i fattori in $3^{x} x \ln (3) + 3^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $3^{x} \ln (3)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{\ln (3)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $\ln (3)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Passaggio 2.8

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $\ln (3)$ per $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 3^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 3^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 1}{3^{0}}$

Passaggio 4.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{1}{\ln (3)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{\ln (3)}$

Forma decimale:

$0.91023922 \dots$