Calcolo Esempi

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ , $x = 4$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = 8 \sqrt{4}$

Passaggio 1.2

Semplifica $8 \sqrt{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 8 \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 8 \cdot 2$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$y = 16$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 4$ e $y = 16$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.10

$8$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.12

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.14

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.15

Semplifica.

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Passaggio 2.15.1

Sposta ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.2

Moltiplica $4$ per $4^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.15.2.1

Moltiplica $4$ per $4^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.15.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Passaggio 2.15.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.15.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.15.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.15.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1}$

Passaggio 2.15.5

Calcola l'esponente.

$2$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(4, 16)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 \cdot (x - 4)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 x - 8 + 16$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 8$ e $16$ .

$y = 2 x + 8$

Passaggio 4