Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (4 x)}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (4 x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\sin (2 x)}$ come un prodotto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Converti da $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ a $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (4 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 1.3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Passaggio 2

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Passaggio 3

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (4 x) \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \tan (4 x) \csc (2 x) \\ - 0.1 & 2.12812524 \\ - 0.01 & 2.00120076 \\ - 0.001 & 2.000012 \\ - 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Passaggio 4

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $2$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (4 x) \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $2$ .

$2$

Passaggio 5

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (4 x) \csc (2 x)$

Passaggio 6

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\tan (4 x) \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \tan (4 x) \csc (2 x) \\ 0.1 & 2.12812524 \\ 0.01 & 2.00120076 \\ 0.001 & 2.000012 \\ 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Passaggio 7

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $2$ . Di conseguenza, il limite di $\tan (4 x) \csc (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $2$ .

$2$