Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(- 3 + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{{(- 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Somma $- 3$ e $0$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(- 3 + h)}^{2}$ come $(- 3 + h) (- 3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 3 + h) (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(- 3 + h) (- 3 + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 (- 3 + h) + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 \cdot h + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $h$ per $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2

Sottrai $3 h$ da $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 6 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - 6 h + h^{2} - 9$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $9$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d h} [- 6 h]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 6 h$ rispetto a $h$ è $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.10.1.1

Sottrai $6$ da $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.1.2

Somma $- 6 + 2 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.2

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 h - 6$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 6$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 6$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 6$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - 1 \cdot 6$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$0 - 6$

Passaggio 4.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$