Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{3 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \arctan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sostituisci $2 x$ con $t$ e lascia che $t$ tenda a $0$ , poiché $lim_{x \to 0} 2 x = 0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \arctan (t)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

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Passaggio 2.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

$2$ e $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.10

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 5.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$