Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{5})}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $5$ da $x^{5}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0^{5})}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{5})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{5})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{5})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{5}) (5 x^{4})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i fattori di $\cos (x^{5}) (5 x^{4})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} \cos (x^{5})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} \cos (x^{5})}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $5 x^{4} \cos (x^{5})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 x^{4} \cos (x^{5})$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} x^{4} \cos (x^{5})$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$5 lim_{x \to 0} x^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{5})$

Passaggio 2.3

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{5})$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{5})$

Passaggio 2.5

Sposta l'esponente $5$ da $x^{5}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{5})$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos (0^{5})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 \cdot 0 \cdot \cos (0^{5})$

Passaggio 4.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0 \cdot \cos (0^{5})$

Passaggio 4.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$