Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \sin (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 5 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 - 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - 5 \cos (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 - 5 \cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - 5 \cos (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 5 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 - lim_{x \to 0} 5 \cos (x)$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 - 5 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2 - 5 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 - 5 \cos (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 - 5 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$2 - 5$

Passaggio 4.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$- 3$