Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 0} 4 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.6.2.1.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - \sqrt{4 - x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Passaggio 1.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.14

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.15

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.16

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.17

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.18

Riscrivi $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.19

Sposta ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.22

Moltiplica $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 - x}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.7.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.7.2.1.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.7.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 2.7.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$