Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan^{2} (x)}{x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\tan^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$2 \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ per $1$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$2 \cdot 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Passaggio 3.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$4 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0)$

Passaggio 5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1 \cdot \tan (0)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 \cdot \tan (0)$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 5.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$