Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{5 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 2.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 - 3 \cos (x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $2 - 3 \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 2 - 3 \cos (x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (2 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x))$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x))$

Passaggio 3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cos (0))$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (2 - 3)$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 1$

Passaggio 5.3

$\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{5}$

Passaggio 5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{5}$

Forma decimale:

$- 0.2$