Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 \cdot 0)}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Passaggio 1.1.3.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.4.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.7.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Passaggio 1.3.7.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Passaggio 1.3.7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}$

Passaggio 1.3.7.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \cdot 2)}$

Passaggio 1.3.7.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (2 \cdot \cos (2 x))}$

Passaggio 1.3.7.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 2.11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 1}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1 + 2}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (0)}$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{3}{1 - 2}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{3}{- 1}$

Passaggio 4.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{3}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 3$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3$