Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Passaggio 7

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $e^{u}$ per $- 2 t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Passaggio 9.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Passaggio 9.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 9.2

Poiché l'esponente $- 2 t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- 2 t}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 9.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 9.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Passaggio 9.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 9.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$