Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.9

$\frac{1}{2 x - 1}$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.13

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{2}{2 x - 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$