Calcolo Esempi

lim x \to 0 \frac{sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{tan (4 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Passaggio 1.2

Sposta il termine

$\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Passaggio 2

Poiché

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ e

$lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , applica il teorema del confronto.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Passaggio 3

Sposta il termine

$2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$0$ per

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$0$ per

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Il valore esatto di

$\tan (0)$ è

$0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 4.2

Poiché

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = \tan (x)$ e

$g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 4.3.3.2

La derivata di

$\tan (u)$ rispetto a

$u$ è

$\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4 x$ rispetto a

$x$ è

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Passaggio 4.3.7

Sposta

$4$ alla sinistra di

$\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il termine

$\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Passaggio 5.4

Sposta l'esponente

$2$ da

$\sec^{2} (4 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Passaggio 5.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Passaggio 5.6

Sposta il termine

$4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$0$ per

$x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.3

Combina.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica

$1$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Passaggio 7.1.5.2

Il valore esatto di

$\sec (0)$ è

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 7.1.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2

Per scrivere

$\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3

Per scrivere

$\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.4.4

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 3}{6}$

Passaggio 7.6

Somma

$2$ e

$3$ .

$\frac{5}{6}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5}{6}$

Forma decimale:

$0.8\overline{3}$