Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $a$ da $x^{a}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $b$ da $x^{b}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{a} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $a x^{a - 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riordina i fattori di $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.5.3

Riordina i fattori in $x^{a - 1} a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{b} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

Passaggio 1.3.9

Semplifica.

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Passaggio 1.3.9.1

Somma $b x^{b - 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Passaggio 1.3.9.2

Riordina i fattori di $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

Passaggio 1.3.9.3

Riordina i fattori in $x^{b - 1} b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{a - 1}$ e $x^{b - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x^{b - 1}$ da $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x^{b - 1}$ da $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{a}{b}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $a - 1 - (b - 1)$ da $x^{a - 1 - (b - 1)}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

Passaggio 4.2

Combina i termini opposti in $a - 1 - b + 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

Passaggio 4.2.2

Somma $a - b$ e $0$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

Passaggio 4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{a}{b} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{a}{b}$ per $1$ .

$\frac{a}{b}$