Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 1.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $5^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5^{x} \ln (5)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{5}{\ln (5)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $5^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5^{x} \ln (5)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{4}{\ln (5)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $5^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5^{x} \ln (5)}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{3}{\ln (5)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 7.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $5^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5^{x} \ln (5)}$

Passaggio 8

Sposta il termine $\frac{2}{\ln (5)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}}$

Passaggio 9

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 9.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Passaggio 9.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $5^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 9.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 9.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Passaggio 9.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} \ln (5)}$

Passaggio 10

Sposta il termine $\frac{1}{\ln (5)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x}}$

Passaggio 11

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{5^{x}}$ tende a $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica $\frac{5}{\ln (5)}$ per $\frac{4}{\ln (5)}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.1.3

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.1.4

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20}{{\ln (5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{20}{\ln^{2} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.2

Combina.

$\frac{20 \cdot 3}{\ln^{2} (5) \ln (5)} \cdot \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.3

Combina.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.4

Combina.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $20$ per $3$ .

$\frac{60 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $60$ per $2$ .

$\frac{120 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.5.3

Moltiplica $120$ per $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln^{1} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{2 + 1} \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.4

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{3 + 1} \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.6

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.7

Moltiplica $\ln^{4} (5)$ per $\ln (5)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.7.1

Moltiplica $\ln^{4} (5)$ per $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.7.1.1

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln^{1} (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.6.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{4 + 1}} \cdot 0$

Passaggio 12.6.7.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{120}{\ln^{5} (5)} \cdot 0$

Passaggio 12.7

Moltiplica $\frac{120}{\ln^{5} (5)}$ per $0$ .

$0$