Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(10 x - 5)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.1.6

Calcola il limite di $25$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{{(10 \cdot 1 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{{(10 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{{(10 - 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Sottrai $5$ da $10$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $25$ da $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(10 x - 5)}^{2}$ come $(10 x - 5) (10 x - 5)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(10 x - 5) (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(10 x - 5) (10 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x - 5) - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $10$ per $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.4

Moltiplica $- 5$ per $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.5

Moltiplica $10$ per $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.4.2

Sottrai $50 x$ da $- 50 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 100 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 x^{2} - 100 x + 25 - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [100 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x^{2}$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $2$ per $100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- 100 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 100 x$ rispetto a $x$ è $- 100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $- 100$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.10

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Somma $200 x - 100$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.10.2

Somma $200 x - 100$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Passaggio 1.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 1.3.12

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.12.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 1.3.12.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 1.3.12.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 1.3.13

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + 0}$

Passaggio 1.3.14

Somma $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $200 x - 100$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $5$ da $200 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) - 100}{5}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $5$ da $- 100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) + 5 \cdot - 20}{5}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $5$ da $5 (40 x) + 5 (- 20)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5}$

Passaggio 1.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 (1)}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 1} \frac{40 x - 20}{1}$

Passaggio 1.4.4.4

Dividi $40 x - 20$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - 20$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - lim_{x \to 1} 20$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $40$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$40 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 20$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $20$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$40 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 20$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$40 \cdot 1 - 1 \cdot 20$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $40$ per $1$ .

$40 - 1 \cdot 20$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$40 - 20$

Passaggio 4.2

Sottrai $20$ da $40$ .

$20$