Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - x - 10}{x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - x - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{12 - 2 - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $12$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $10$ da $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 - 2}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - x - 10}{x^{2} - x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $6 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x - 1 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x - 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - 1}{lim_{x \to 2} 2 x - 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 2 x - 1}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 2 x - 1}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} 2 x - 1}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 1}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{12 - 1}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $1$ da $12$ .

$\frac{11}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{11}{4 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{11}{4 - 1}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{11}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{11}{3}$

Forma decimale:

$3.\overline{6}$