Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 x + 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + 1$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$2 lim_{x \to 1} x + 1$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$2 \cdot 1 + 1$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 1$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$