Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 2$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Combina i termini opposti in $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 3 x$ da $2 \cdot 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Somma $3 \cdot 1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $3$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ come ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 14$ .

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 28$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ come ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 28$ .

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $2$ per $84$ .

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Passaggio 3.4.2

$168$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $168$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ come ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $168$ .

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 4.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 672$ .

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 1344$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$