Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Espandi $(2 - x) (2 + x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

Passaggio 1.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Somma $4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.2.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{0 - 1}$

Passaggio 7.2.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{2}{- 1}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $2$ per $- 1$ .

$- 2$