Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2^{2 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2^{2 x}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1} \cdot 2^{2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $2^{x} \ln (2)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Passaggio 1.4

Riduci.

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $2^{1 + 2 x}$ e $2^{x}$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $2^{x}$ da $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Scomponi $2^{x}$ da $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} (\ln (2))}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 1.4.2.2

Dividi $2^{1 + x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{1 + x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$2^{lim_{x \to 0} 1 + x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2^{1 + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2^{1 + 0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2^{1}$

Passaggio 4.2

Calcola l'esponente.

$2$