Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 2) (x^{2} - 2 x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 2}$ per $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x^{2} - 2 x) (x - 2)}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x^{2} - 2 x) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 - x^{2} + 2 x \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.10

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.11

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.11.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.11.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.11.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.12.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.4

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{4 - 4 - (- 2 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.5

Somma $- 2$ e $4$ .

$\frac{4 - 4 - 1 \cdot 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.8

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.1.9

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.2.12.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.1.3.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.1.3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Passaggio 2.1.3.7

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Passaggio 2.1.3.7.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 2.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 2.1.3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 2 \cdot 2)}$

Passaggio 2.1.3.8.3.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Passaggio 2.1.3.8.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.8.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.8.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 - x^{2} + 2 x$ e $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.12

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \cdot 1 + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.13

Moltiplica $2 - x^{2} + 2 x$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.15

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.5.16

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 1 x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{1 + 1}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.8

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{2}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.10

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.11

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.14

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.15

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.16

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.17

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.18

Sottrai $6 x$ da $- 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.19

Somma $- 2$ e $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.20

Sottrai $8 x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x - 2 + 3 x^{2} + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.21

Somma $- 2$ e $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.6.22

Somma $- 6 x + 3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.6.7

Riordina i termini.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Passaggio 2.3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Passaggio 2.3.15

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.16

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $x^{2} - 2 x$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.8

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 6 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 6 x + 4 - 2 x}$

Passaggio 2.3.18.4.10

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.6.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.6.1.3

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Sottrai $12$ da $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 3.1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Passaggio 3.1.3.6

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 4}$

Passaggio 3.1.3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4}$

Passaggio 3.1.3.7.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 \cdot 2 + 4}$

Passaggio 3.1.3.7.1.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$\frac{0}{12 - 16 + 4}$

Passaggio 3.1.3.7.2

Sottrai $16$ da $12$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Passaggio 3.1.3.7.3

Somma $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.7.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.8

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Passaggio 3.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 8 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.6.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.7.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + 0}$

Passaggio 3.3.9

Somma $6 x - 8$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $6 x - 6$ e $6 x - 8$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) - 6}{6 x - 8}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) + 2 (- 3)}{6 x - 8}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{6 x - 8}$

Passaggio 3.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) - 8}$

Passaggio 3.4.4.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) + 2 (- 4)}$

Passaggio 3.4.4.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Passaggio 3.4.4.4

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Passaggio 3.4.4.5

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 3}{3 x - 4}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Passaggio 4.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 4.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 4.7

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 - 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $3$ da $6$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{3}{6 - 4}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $4$ da $6$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$