Calcolo Esempi

$y = 3 x + 3$ , $y = x^{2} + 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$3 x + 3 = x^{2} + 3$

Passaggio 1.2

Risolvi $3 x + 3 = x^{2} + 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x + 3 - x^{2} = 3$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x + 3 - x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 1.2.3

Combina i termini opposti in $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$3 x - x^{2} + 0 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $3 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x$ da $3 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$x \cdot 3 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x \cdot 3 + x (- x) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 3 + x (- x)$ .

$x (3 - x) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{2} + 3$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.7

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 1.2.7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (3 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 3$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = {(0)}^{2} + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{2} + 3$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $0^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 3$

Passaggio 1.3.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = {(3)}^{2} + 3$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $3$ per $x$ in $y = {(3)}^{2} + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3^{2} + 3$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica $3^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = 9 + 3$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $9$ e $3$ .

$y = 12$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 3)$

$(3, 12)$

$(0, 3)$

$(3, 12)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{3} 3 x + 3 d x - \int_{0}^{3} x^{2} + 3 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - (x^{2} + 3) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 x + 3 - x^{2} - 3$

$\int_{0}^{3} 3 x + 3 - x^{2} - 3 d x$

Passaggio 3.3

Combina i termini opposti in $3 x + 3 - x^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$3 x - x^{2} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $3 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x - x^{2}$

$\int_{0}^{3} 3 x - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} 3 x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $0$ .

$3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.5

Somma $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.6

$3$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.9

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.9.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.11.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 3.10.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.10.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - 0)$

Passaggio 3.10.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 + 0)$

Passaggio 3.10.2.3.13

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{27}{2} - 1 \cdot 9$

Passaggio 3.10.2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{27}{2} - 9$

Passaggio 3.10.2.3.15

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.16

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.18.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{27 - 18}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.18.2

Sottrai $18$ da $27$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 4