Calcolo Esempi

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Risolvi $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $\sin (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Fattorizza $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 1.2.3.1.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.3.1.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Passaggio 1.2.3.1.3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cos (x)$ come $- \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Passaggio 1.2.5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 1.2.5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 1.2.5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

Imposta $- 2 - \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $- 2 - \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $- 2 - \cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = 2$

Passaggio 1.2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = 2$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = 2$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 1.2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.6.2.2.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Passaggio 1.2.6.2.3

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- 2$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.8

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = π n$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $π n$ a $x$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \sin (2 π n)$

Passaggio 1.4

Elenca tutte le soluzioni.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3