Calcolo Esempi

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x - x^{2} = - 3$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x - x^{2} = - 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $2 x - x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1 + y = - 3$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = - 3$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = - 3$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

Passaggio 2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{3} - 3 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $3$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x - (- 3) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Passaggio 4.10

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Passaggio 4.11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $- 1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Passaggio 4.11.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Passaggio 4.11.3

Calcola $3 x$ per $3$ e per $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (9 - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (9 - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- (9 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.7

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.8

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.10.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- \frac{27 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.10.2

Somma $27$ e $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.14

Sottrai $1$ da $9$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{8}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.15

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.15.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{4}{1}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.15.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \cdot 4 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.16

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{28}{3} + 8 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.17

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.18

$8$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 28 + 8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.20.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{- 28 + 24}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.20.2

Somma $- 28$ e $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.22

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.11.4.23

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Passaggio 4.11.4.24

Somma $9$ e $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Passaggio 4.11.4.25

Per scrivere $12$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.11.4.26

$12$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.11.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.11.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.4.28.1

Moltiplica $12$ per $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Passaggio 4.11.4.28.2

Somma $- 4$ e $36$ .

$\frac{32}{3}$

Passaggio 5