Calcolo Esempi

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x - x^{2} = - x$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x - x^{2} = - x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} + x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $2 x$ e $x$ .

$- x^{2} + 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- x$ da $- x^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $- x$ da $3 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $- x$ da $- x (x) - x (- 3)$ .

$- x (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0 + y = - x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = - (0)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = - (3)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - 3$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

$(0, 0)$

$(3, - 3)$

Passaggio 2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{3} - x d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x - (- x) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x + 1 x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- x^{2} + 2 x + x$

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 2 x + x d x$

Passaggio 4.3

Somma $2 x$ e $x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 3 x d x$

Passaggio 4.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Passaggio 4.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $0$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (9 - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (9 - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (9 - 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (9 + 0) + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.6

Somma $9$ e $0$ .

$- 1 \cdot 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 + 3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 4.10.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Passaggio 4.10.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Passaggio 4.10.2.3.12

Somma $\frac{9}{2}$ e $0$ .

$- 9 + 3 (\frac{9}{2})$

Passaggio 4.10.2.3.13

$3$ e $\frac{9}{2}$ .

$- 9 + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.14

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- 9 + \frac{27}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.15

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.16

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.3.18.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{2}$

Passaggio 4.10.2.3.18.2

Somma $- 18$ e $27$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 5