Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$ , $y = x^{2} + 7 x - 15$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} = 7 x - 15$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $7 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} - 7 x = - 15$

Passaggio 1.2.1.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x + 5 - 7 x = - 15$

Passaggio 1.2.1.4

Sottrai $7 x$ da $- 5 x$ .

$x^{2} - 12 x + 5 = - 15$

Passaggio 1.2.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 12 x + 5 + 15 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma $5$ e $15$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x^{2} - 12 x + 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 10, - 2 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Passaggio 1.2.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 10) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 10, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $10$ .

$y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $10$ per $x$ in $y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 10^{2} + 7 (10) - 15$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $10^{2} + 7 (10) - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$y = 100 + 7 (10) - 15$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $7$ per $10$ .

$y = 100 + 70 - 15$

Passaggio 1.3.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Somma $100$ e $70$ .

$y = 170 - 15$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Sottrai $15$ da $170$ .

$y = 155$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $2$ per $x$ in $y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2^{2} + 7 (2) - 15$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica $2^{2} + 7 (2) - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = 4 + 7 (2) - 15$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$y = 4 + 14 - 15$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $4$ e $14$ .

$y = 18 - 15$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Sottrai $15$ da $18$ .

$y = 3$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(10, 155)$

$(2, 3)$

$(10, 155)$

$(2, 3)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 d x - \int_{2}^{10} 2 x^{2} - 5 x + 5 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $2$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2} - 5 x + 5) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5$

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5 d x$

Passaggio 3.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- x^{2} + 7 x - 15 + 5 x - 5$

Passaggio 3.3.2

Somma $7 x$ e $5 x$ .

$- x^{2} + 12 x - 15 - 5$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $5$ da $- 15$ .

$- x^{2} + 12 x - 20$

$\int_{2}^{10} - x^{2} + 12 x - 20 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{10} - x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{2}^{10} x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 \int_{2}^{10} x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Passaggio 3.11

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Passaggio 3.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $10$ e per $2$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Passaggio 3.12.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $10$ e per $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Passaggio 3.12.3

Calcola $- 20 x$ per $10$ e per $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1000 - 8}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.4

Sottrai $8$ da $1000$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{100}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.6.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{50}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.6.2.4

Dividi $50$ per $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{4}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2}{1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 1 \cdot 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.10

Sottrai $2$ da $50$ .

$- \frac{992}{3} + 12 \cdot 48 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.11

Moltiplica $12$ per $48$ .

$- \frac{992}{3} + 576 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.12

Per scrivere $576$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + 576 \cdot \frac{3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.13

$576$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + \frac{576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 992 + 576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.15.1

Moltiplica $576$ per $3$ .

$\frac{- 992 + 1728}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.15.2

Somma $- 992$ e $1728$ .

$\frac{736}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.16

Moltiplica $- 20$ per $10$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 20 \cdot 2$

Passaggio 3.12.4.17

Moltiplica $20$ per $2$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 40$

Passaggio 3.12.4.18

Somma $- 200$ e $40$ .

$\frac{736}{3} - 160$

Passaggio 3.12.4.19

Per scrivere $- 160$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.12.4.20

$- 160$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{736 - 160 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.12.4.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.22.1

Moltiplica $- 160$ per $3$ .

$\frac{736 - 480}{3}$

Passaggio 3.12.4.22.2

Sottrai $480$ da $736$ .

$\frac{256}{3}$

Passaggio 4