Calcolo Esempi

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Passaggio 1.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0.13793482$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0.13793482$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0.13793482$ per $x$ in $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Eleva $0.13793482$ alla potenza di $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Passaggio 1.3.2.3.2

Sottrai $2$ da $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1.56446225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1.56446225$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $1.56446225$ per $x$ in $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Eleva $1.56446225$ alla potenza di $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Passaggio 1.4.2.3.2

Sottrai $2$ da $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0.13793482$ e $1.56446225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.6

Applica la regola costante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Passaggio 3.10

Applica la regola costante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Passaggio 3.11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ e $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Passaggio 3.11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Calcola $\ln (x) x + 2 x$ per $1.56446225$ e per $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Passaggio 3.11.2.2

Calcola $x$ per $1.56446225$ e per $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Passaggio 3.11.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1.56446225$ e per $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.1

Moltiplica $\ln (1.56446225)$ per $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.3

Somma $0.70016281$ e $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.4

Moltiplica $\ln (0.13793482)$ per $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5

Moltiplica $2$ per $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.6

Somma $- 0.2732453$ e $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.7

Moltiplica $- 1$ per $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.8

Sottrai $0.00262435$ da $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.9

Sottrai $0.13793482$ da $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.10

Moltiplica $- 1$ per $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.11

Sottrai $1.42652743$ da $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.12

Eleva $1.56446225$ alla potenza di $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.13

Eleva $0.13793482$ alla potenza di $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.15

Sottrai $0.00262435$ da $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.16

Per scrivere $2.39993555$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.17

$2.39993555$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.19

Moltiplica $2.39993555$ per $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.20

Sottrai $3.82646298$ da $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Passaggio 3.12

Dividi $3.37334367$ per $3$ .

$1.12444789$

Passaggio 4