Calcolo Esempi

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + x = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} + x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x^{2} + x$ da $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $0$ e per $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0$ e per $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Somma $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.11

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.13

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.14

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.15

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.16

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.16.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.16.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.16.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.10.2.3.16.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.18

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

Passaggio 5.2

Sottrai $0$ da $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Passaggio 5.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ e $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Passaggio 5.6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ per $6$ e per $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.3

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.4

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.5

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.6

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.6.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.7

Somma $72$ e $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.9

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Passaggio 5.6.2.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5.6.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$90 - (0 + 0)$

Passaggio 5.6.2.2.12

Somma $0$ e $0$ .

$90 - 0$

Passaggio 5.6.2.2.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$90 + 0$

Passaggio 5.6.2.2.14

Somma $90$ e $0$ .

$90$

Passaggio 6

Somma le aree $\frac{1}{6} + 90$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per scrivere $90$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

Passaggio 6.2

$90$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

Passaggio 6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $90$ per $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

Passaggio 6.4.2

Somma $1$ e $540$ .

$\frac{541}{6}$

Passaggio 7