Calcolo Esempi

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\cos (11 x) = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\cos (11 x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$11 x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Passaggio 1.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Passaggio 1.2.6

Trova il periodo di $\cos (11 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.6.2

Sostituisci $b$ con $11$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Passaggio 1.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $11$ è $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Passaggio 1.2.7

Il periodo della funzione $\cos (11 x)$ è $\frac{2 π}{11}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{11}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $\frac{π}{22}$ e $\frac{π}{11}$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $\cos (11 x)$ da $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Passaggio 3.4

Sia $u = 11 x$ . Allora $d u = 11 d x$ , quindi $\frac{1}{11} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sia $u = 11 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Differenzia $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Passaggio 3.4.1.2

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $11$ per $1$ .

$11$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $11$ da $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Passaggio 3.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Passaggio 3.4.5

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Passaggio 3.4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 3.4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Passaggio 3.5

$\cos (u)$ e $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Passaggio 3.6

Poiché $\frac{1}{11}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{11}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 3.7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Passaggio 3.8

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Passaggio 3.10.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Passaggio 3.10.3

Moltiplica $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Passaggio 3.10.3.2

Moltiplica $\frac{1}{11}$ per $1$ .

$\frac{1}{11}$

Passaggio 4