Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 2 x + 3$ , $y = 4 - 2 x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 3 = 4 - 2 x$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x + 3 + 2 x = 4$

Passaggio 1.2.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 2 x + 3 + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$x^{2} + 0 + 3 = 4$

Passaggio 1.2.1.2.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} + 3 = 4$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4 - 3$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = 4 - 2 \cdot 1$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $4 - 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$y = 4 - 2$

Passaggio 1.3.2.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$y = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $- 1$ per $x$ in $y = 4 - 2 \cdot - 1$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica $4 - 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = 4 + 2$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$y = 6$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

$(1, 2)$

$(- 1, 6)$

Passaggio 2

Riordina $4$ e $- 2 x$ .

$y = - 2 x + 4$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 2 x + 3 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $1$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 3$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$

$\int_{- 1}^{1} - 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3 d x$

Passaggio 4.3

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.3.1

Combina i termini opposti in $- 2 x + 4 - x^{2} + 2 x - 3$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$4 - x^{2} + 0 - 3$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $4 - x^{2}$ e $0$ .

$4 - x^{2} - 3$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$- x^{2} + 1$

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Passaggio 4.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x$

Passaggio 4.8

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 4.9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 4.9.2

Calcola $x$ per $1$ e per $- 1$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3

Semplifica.

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Passaggio 4.9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{3} + 1 + 1$

Passaggio 4.9.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2$

Passaggio 4.9.3.9

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.9.3.10

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.3.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.3.12.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{3}$

Passaggio 4.9.3.12.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 5