Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 3 x$ , $y = 3 x + 7$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 3 x = 3 x + 7$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 3 x = 3 x + 7$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 3 x = 7$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x = 7$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1 + y = 3 x + 7$

Passaggio 1.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0 + y = 3 x + 7$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 7, - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 7$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $7$ .

$y = 3 (7) + 7$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $3 (7) + 7$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$y = 21 + 7$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $21$ e $7$ .

$y = 28$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$y = 3 (- 1) + 7$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $3 (- 1) + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $- 3$ e $7$ .

$y = 4$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} 3 x + 7 d x - \int_{- 1}^{7} x^{2} - 3 x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $7$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - (x^{2} - 3 x) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + 7 - x^{2} - (- 3 x)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 x + 7 - x^{2} + 3 x$

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - x^{2} + 3 x d x$

Passaggio 3.3

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\int_{- 1}^{7} 6 x + 7 - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{7} 6 x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{2} d x$

Passaggio 3.10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7})$

Passaggio 3.11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.11.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Passaggio 3.11.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.11.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $7$ e per $- 1$ .

$6 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Passaggio 3.11.2.2

Calcola $7 x$ per $7$ e per $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

Passaggio 3.11.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $7$ e per $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4

Semplifica.

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Passaggio 3.11.2.4.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{49 - 1}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.4

Sottrai $1$ da $49$ .

$6 (\frac{48}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5

Elimina il fattore comune di $48$ e $2$ .

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Passaggio 3.11.2.4.5.1

Scomponi $2$ da $48$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{24}{1}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5.2.4

Dividi $24$ per $1$ .

$6 \cdot 24 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.6

Moltiplica $6$ per $24$ .

$144 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.7

Moltiplica $7$ per $7$ .

$144 + 49 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.8

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$144 + 49 + 7 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.9

Somma $49$ e $7$ .

$144 + 56 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.10

Somma $144$ e $56$ .

$200 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.11

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$200 - (\frac{343}{3} - - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 3.11.2.4.15

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$200 - \frac{343 + 1}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.17

Somma $343$ e $1$ .

$200 - \frac{344}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.18

Per scrivere $200$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$200 \cdot \frac{3}{3} - \frac{344}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.19

$200$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{200 \cdot 3}{3} - \frac{344}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{200 \cdot 3 - 344}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.21

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.2.4.21.1

Moltiplica $200$ per $3$ .

$\frac{600 - 344}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.21.2

Sottrai $344$ da $600$ .

$\frac{256}{3}$

Passaggio 4