Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 2 x$ , $x = 1$ , $x = 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} + 2 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $x^{2} + 2 x$ .

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3}$ per $3$ e per $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 3.7.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$9 - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.9.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{27 - 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2

Sottrai $1$ da $27$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.13

Sottrai $1$ da $9$ .

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{8}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.14

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.14.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.14.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Passaggio 3.7.2.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{26}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{26}{3} + 2 (\frac{4}{1})$

Passaggio 3.7.2.3.14.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{26}{3} + 2 \cdot 4$

Passaggio 3.7.2.3.15

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{26}{3} + 8$

Passaggio 3.7.2.3.16

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.7.2.3.17

$8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{26}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.7.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{26 + 8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.7.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.19.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{26 + 24}{3}$

Passaggio 3.7.2.3.19.2

Somma $26$ e $24$ .

$\frac{50}{3}$

Passaggio 4