Calcolo Esempi

$y = x^{2}$ , $y = 20 - x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} = 20 - x$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} = 20 - x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x = 20$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2} + x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $1$ .

$- 4, 5 + y = 20 - x$

Passaggio 1.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0 + y = 20 - x$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 4, - 5$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = 20 - (4)$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $20 - (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = 20 - 4$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $4$ da $20$ .

$y = 16$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 5$ .

$y = 20 - (- 5)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $20 - (- 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$y = 20 + 5$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $20$ e $5$ .

$y = 25$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

Passaggio 2

Riordina $20$ e $- x$ .

$y = - x + 20$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 5}^{4} - x + 20 d x - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 5$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - (x^{2}) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - x^{2} d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 5}^{4} - x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 5}^{4} x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 4.7

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{4})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $- 5$ .

$- ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $20 x$ per $4$ e per $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

Passaggio 4.10.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- (\frac{16}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{8}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- (8 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- (8 - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.4

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.5

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{8 \cdot 2 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.7.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$- \frac{16 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.7.2

Sottrai $25$ da $16$ .

$- \frac{- 9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.10

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $1$ .

$\frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.11

Moltiplica $20$ per $4$ .

$\frac{9}{2} + 80 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.12

Moltiplica $- 20$ per $- 5$ .

$\frac{9}{2} + 80 + 100 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.13

Somma $80$ e $100$ .

$\frac{9}{2} + 180 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.14

Per scrivere $180$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 180 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.15

$180$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 + 180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.17.1

Moltiplica $180$ per $2$ .

$\frac{9 + 360}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2

Somma $9$ e $360$ .

$\frac{369}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.18

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.19

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 125}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{125}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{125}{3}))$

Passaggio 4.10.2.4.22

Moltiplica $\frac{125}{3}$ per $1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{125}{3})$

Passaggio 4.10.2.4.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{369}{2} - \frac{64 + 125}{3}$

Passaggio 4.10.2.4.24

Somma $64$ e $125$ .

$\frac{369}{2} - \frac{189}{3}$

Passaggio 4.10.2.4.25

Elimina il fattore comune di $189$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.25.1

Scomponi $3$ da $189$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.25.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 (1)}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{369}{2} - \frac{63}{1}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.4

Dividi $63$ per $1$ .

$\frac{369}{2} - 1 \cdot 63$

Passaggio 4.10.2.4.26

Moltiplica $- 1$ per $63$ .

$\frac{369}{2} - 63$

Passaggio 4.10.2.4.27

Per scrivere $- 63$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} - 63 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.28

$- 63$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} + \frac{- 63 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{369 - 63 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.30

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.30.1

Moltiplica $- 63$ per $2$ .

$\frac{369 - 126}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.30.2

Sottrai $126$ da $369$ .

$\frac{243}{2}$

Passaggio 5