Calcolo Esempi

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 3 x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- x^{2} + 4 = 3 x$

Passaggio 1.2

Risolvi $- x^{2} + 4 = 3 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} + 4 - 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} + 4 - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Sposta $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4 + y = 3 x$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 3 x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 1) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 1, - 4$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 3 (1)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y = 3$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 4$ .

$y = 3 (- 4)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$y = - 12$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 4}^{1} 3 x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $1$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - (3 x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - 3 x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 4}^{1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 \int_{- 4}^{1} x d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{1})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 4$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $4 x$ per $1$ e per $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

Passaggio 3.10.2.3

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.5

Moltiplica $\frac{64}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1 + 64}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.7

Somma $1$ e $64$ .

$- \frac{65}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{65}{3} + 4 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.9

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$- \frac{65}{3} + 4 + 16 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.10

Somma $4$ e $16$ .

$- \frac{65}{3} + 20 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.11

Per scrivere $20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.12

$20$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 65 + 20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.14.1

Moltiplica $20$ per $3$ .

$\frac{- 65 + 60}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.14.2

Somma $- 65$ e $60$ .

$\frac{- 5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.17

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{16}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.18

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.18.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.18.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Passaggio 3.10.2.4.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.10.2.4.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{8}{1})$

Passaggio 3.10.2.4.18.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 8)$

Passaggio 3.10.2.4.19

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8)$

Passaggio 3.10.2.4.20

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.21

$- 8$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 8 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.10.2.4.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.23.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 16}{2}$

Passaggio 3.10.2.4.23.2

Sottrai $16$ da $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{- 15}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.24

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{3} - 3 (- \frac{15}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.25

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{5}{3} + 3 (\frac{15}{2})$

Passaggio 3.10.2.4.26

$3$ e $\frac{15}{2}$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{3 \cdot 15}{2}$

Passaggio 3.10.2.4.27

Moltiplica $3$ per $15$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{45}{2}$

Passaggio 3.10.2.4.28

Per scrivere $- \frac{5}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Passaggio 3.10.2.4.29

Per scrivere $\frac{45}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.30

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.30.1

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.30.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.30.3

Moltiplica $\frac{45}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.10.2.4.30.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.4.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \cdot 2 + 45 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.4.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.32.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{- 10 + 45 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.4.32.2

Moltiplica $45$ per $3$ .

$\frac{- 10 + 135}{6}$

Passaggio 3.10.2.4.32.3

Somma $- 10$ e $135$ .

$\frac{125}{6}$

Passaggio 4