Calcolo Esempi

$y = - x^{2} + 4 x$ , $y = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- x^{2} + 4 x = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $- x^{2} + 4 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $- x$ da $- x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $- x$ da $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 4 x = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $- x$ da $4 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $- x$ da $- x (x) - x (- 4)$ .

$- x (x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{4} - x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Passaggio 3.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 \int_{0}^{4} x d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $0$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Passaggio 3.9.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $0$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (\frac{64}{3} - 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (\frac{64}{3} + 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.5

Somma $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.7

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.7.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.7.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - 0)$

Passaggio 3.9.2.3.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 + 0)$

Passaggio 3.9.2.3.11

Somma $8$ e $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 \cdot 8$

Passaggio 3.9.2.3.12

Moltiplica $4$ per $8$ .

$- \frac{64}{3} + 32$

Passaggio 3.9.2.3.13

Per scrivere $32$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.14

$32$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.16.1

Moltiplica $32$ per $3$ .

$\frac{- 64 + 96}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.16.2

Somma $- 64$ e $96$ .

$\frac{32}{3}$

Passaggio 4