Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 2 x = x + 4$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1 + y = x + 4$

Passaggio 1.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 4, - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = (4) + 4$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $4$ per $x$ in $y = (4) + 4$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 + 4$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (4) + 4$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $4$ e $4$ .

$y = 8$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$y = (- 1) + 4$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $- 1$ per $x$ in $y = (- 1) + 4$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 1 + 4$

Passaggio 1.4.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (- 1) + 4$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $- 1$ e $4$ .

$y = 3$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $4$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

Passaggio 3.3

Somma $x$ e $2 x$ .

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

Passaggio 3.10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 3.11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.11.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 3.11.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.11.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 3.11.2.2

Calcola $4 x$ per $4$ e per $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

Passaggio 3.11.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

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Passaggio 3.11.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.4

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.5

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.2.4.7.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.7.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.8

$3$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.9

Moltiplica $3$ per $15$ .

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.10

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.11

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.12

Somma $16$ e $4$ .

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.13

Per scrivere $20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.14

$20$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.16.1

Moltiplica $20$ per $2$ .

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.16.2

Somma $45$ e $40$ .

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.17

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.18

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.20

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 3.11.2.4.21

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

Passaggio 3.11.2.4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.23

Somma $64$ e $1$ .

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.24

Per scrivere $\frac{85}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

Passaggio 3.11.2.4.25

Per scrivere $- \frac{65}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.11.2.4.26

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.26.1

Moltiplica $\frac{85}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.11.2.4.26.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.11.2.4.26.3

Moltiplica $\frac{65}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.11.2.4.26.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

Passaggio 3.11.2.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

Passaggio 3.11.2.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.4.28.1

Moltiplica $85$ per $3$ .

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

Passaggio 3.11.2.4.28.2

Moltiplica $- 65$ per $2$ .

$\frac{255 - 130}{6}$

Passaggio 3.11.2.4.28.3

Sottrai $130$ da $255$ .

$\frac{125}{6}$

Passaggio 4