Calcolo Esempi

$y = x^{2} - x - 6$ , $y = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - x - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

$(3, 0)$

$(- 2, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} 0 d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - x - 6 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{3} 0 - (x^{2} - x - 6) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x^{2} - x - 6$ da $0$ .

$\int_{- 2}^{3} - (x^{2} - x - 6) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + x + 6 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Passaggio 3.9

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}$ e $6 x]_{- 2}^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3}$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ per $3$ e per $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- (9 - \frac{- 8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (9 - - \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{8}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.6

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $1$ .

$- (9 + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.7

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.8

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.10.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- \frac{27 + 8}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.10.2

Somma $27$ e $8$ .

$- \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.12

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.13

Moltiplica $6$ per $3$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.14

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.15

$18$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.17.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.17.2

Somma $9$ e $36$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.18

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.19

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.20

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.20.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.20.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.20.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2)$

Passaggio 3.10.2.3.21

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - (2 - 12)$

Passaggio 3.10.2.3.22

Sottrai $12$ da $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} - - 10$

Passaggio 3.10.2.3.23

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10$

Passaggio 3.10.2.3.24

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.25

$10$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 10 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.27

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.27.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{45 + 20}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.27.2

Somma $45$ e $20$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{65}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.28

Per scrivere $- \frac{35}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.29

Per scrivere $\frac{65}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.30

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.30.1

Moltiplica $\frac{35}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.30.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.10.2.3.30.3

Moltiplica $\frac{65}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.10.2.3.30.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{65 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 65 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.32.1

Moltiplica $- 35$ per $2$ .

$\frac{- 70 + 65 \cdot 3}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.32.2

Moltiplica $65$ per $3$ .

$\frac{- 70 + 195}{6}$

Passaggio 3.10.2.3.32.3

Somma $- 70$ e $195$ .

$\frac{125}{6}$

Passaggio 4