Calcolo Esempi

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 - 7 x}$ come ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 x = - 3$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 3$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{3}{7}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $\frac{3}{7}$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $\frac{3}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Passaggio 3.3

Sia $u = 3 - 7 x$ . Allora $d u = - 7 d x$ , quindi $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sia $u = 3 - 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Differenzia $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 3.3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$0 - 7$

Passaggio 3.3.1.4

Sottrai $7$ da $0$ .

$- 7$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 3.3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1.1.1

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Passaggio 3.3.5.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Passaggio 3.3.5.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Passaggio 3.3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Passaggio 3.3.5.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Passaggio 3.4.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Passaggio 3.6

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 3.7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Passaggio 3.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $0$ e per $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.9.2.6

$3^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 3.9.2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.8

Sposta $3^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Passaggio 3.9.2.9

Moltiplica $3^{\frac{3}{2}}$ per $3^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.9.1

Sposta $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Passaggio 3.9.2.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.9.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.9.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.9.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.9.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.9.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.9.2.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.9.2.11

Sottrai $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ da $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3.9.2.12

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.2.13

$2$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.9.2.14

$\frac{2}{7}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Passaggio 4